2.2.3平面向量数乘运算及其几何意义
一、教学分析
向量具有丰富的现实背景和物理背景，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁,是重要的数学模型。向量，具有“数”与“行”的双重身份，是处理问题的一种工具，作用非常大，贯穿于整个高中数学的学习中。向量数乘运算及其几何意义在本章节中起着承前起后的作用。学生在掌握向量加法、减法的基础上，具备一定的向量作图与向量运算能力，有助于学习实数与向量的积的运算。通过前面学习两个向量的运算，进一步转化为数与向量的联系，是后面学习平面向量基本定理的基础。
二、教学目标
【知识与技能】掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理；熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决简单向量共线、三点共线问题。【过程与方法】通过探究,体会类比迁移、数形结合的思想方法；通过由实例到概念，由具体到抽象，体会特殊到一般的思想方法。【态度情感与价值观】体会数学与其他学科的联系，培养实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
三、教学重难点
重点：向量数乘运算、几何意义及其运算律，向量共线定理
难点：向量共线定理的探究及其运用
四、教学过程
（一）复习引入
1、复习向量的概念、共线向量以及向量加法、减法，采用提问的形式。
问题1：向量的概念？共线向量？
问题2：已知任意两个向量，如何求和向量与差向量？
2、出示物理中的位移和重力公式
问题1：公式中哪些量是向量，哪些量是数量？这是怎样的运算？
（二）向量的数乘运算
1、已知非零向量 
，作出和
问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？
问题2：这些变化与哪些因素有关？
将学生分成两组，第一组：；第二组：。让学生作出图象，并思考两个问题。
2、实数与向量的积的定义
一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：
思考：（1）数乘结果是数还是向量？（2）向量要研究大小和方向，根据1的结论，四人小组讨论，最后总结结论。
1 2当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反。当或时，
3、向量的几何意义
问题3：已知非零向量，从大小和方向来说说下列向量与向量的关系：
几何意义：将向量的大小扩大（或缩小）到原来的倍，不改变向量的方向或与向量的方向相反，得到。
4、实数与向量的积的运算律
问题:4：求作向量和(为非零向量)，并进行比较。
问题5：已知向量、，求作向量和，并进行比较。
问题4由学生独立完成，问题5大家一起完成。
根据刚刚的结论，类比实数乘法的运算律，一起得到向量数乘的运算律：
设、为任意向量，、为任意实数，则有：
结合律：
第一分配律：
第二分配律：
5、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
6、例1：计算 (1) (2)
(3)
（三）向量共线定理
1、填空，观察共线向量与数乘之间的关系。
2、向量共线定理 ： 向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得
问题1：如果没有的限制，上述定理还成立吗？
问题2：是什么情况呢？
3、向量、不共线，判断下列各小题中的向量与是否共线.
4、例2：已知任意两非零向量、，试作, ，。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
向量共线定理可以用来证明两向量是否平行，三点是否共线，两直线是否平行。
（四）课堂小结
1.概念与定理：数乘运算、几何意义、运算律、向量共线定理
2.知识应用：证明两向量共线、三点共线
（五）作业延伸
书本第91页 9、10； 作业本第48页1——6