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王璐教学设计

发布时间:2019-04-19 13:13:07发布人:王青芳文章来源:浏览次数:17

2.2.3平面向量数乘运算及其几何意义

一、教学分析

向量具有丰富的现实背景和物理背景,是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁,是重要的数学模型。向量,具有“数”与“行”的双重身份,是处理问题的一种工具,作用非常大,贯穿于整个高中数学的学习中。向量数乘运算及其几何意义在本章节中起着承前起后的作用。学生在掌握向量加法、减法的基础上,具备一定的向量作图与向量运算能力,有助于学习实数与向量的积的运算。通过前面学习两个向量的运算,进一步转化为数与向量的联系,是后面学习平面向量基本定理的基础。

二、教学目标

【知识与技能】掌握向量数乘运算,理解其几何意义,理解向量共线定理;熟练运用定义、运算律进行有关计算,能够运用定理解决简单向量共线、三点共线问题。【过程与方法】通过探究,体会类比迁移、数形结合的思想方法;通过由实例到概念,由具体到抽象,体会特殊到一般的思想方法。【态度情感与价值观】体会数学与其他学科的联系,培养实事求是的科学态度,勇于创新的精神。

三、教学重难点

重点:向量数乘运算、几何意义及其运算律,向量共线定理

难点:向量共线定理的探究及其运用

四、教学过程

(一)复习引入

1、复习向量的概念、共线向量以及向量加法、减法,采用提问的形式。

问题1:向量的概念?共线向量?

问题2:已知任意两个向量,如何求和向量与差向量?

2、出示物理中的位移和重力公式

问题1:公式中哪些量是向量,哪些量是数量?这是怎样的运算?

(二)向量的数乘运算

1已知非零向量                                               ,作出

问题1:相加后,和的长度和方向有什么变化?

问题2:这些变化与哪些因素有关?

将学生分成两组,第一组:;第二组:。让学生作出图象,并思考两个问题。

2、实数与向量的积的定义

一般地,我们规定实数λ与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:

思考:(1)数乘结果是数还是向量?(2)向量要研究大小和方向,根据1的结论,四人小组讨论,最后总结结论。

1 2当λ>0时,的方向与的方向相同;当λ<0时,的方向与的方向相反。当时,

3、向量的几何意义

问题3:已知非零向量,从大小和方向来说说下列向量与向量的关系:

几何意义:将向量的大小扩大(或缩小)到原来的倍,不改变向量的方向或与向量的方向相反,得到

4、实数与向量的积的运算律

问题:4:求作向量(为非零向量),并进行比较。

问题5:已知向量,求作向量,并进行比较。

问题4由学生独立完成,问题5大家一起完成。

根据刚刚的结论,类比实数乘法的运算律,一起得到向量数乘的运算律:

  为任意向量,为任意实数,则有:

结合律:   

第一分配律:

第二分配律: 

5、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。

6、例1:计算 (1)        (2)

          (3)

(三)向量共线定理

1、填空,观察共线向量与数乘之间的关系。

2、向量共线定理 : 向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数,使得

问题1:如果没有的限制,上述定理还成立吗?

问题2:是什么情况呢?

3、向量不共线,判断下列各小题中的向量是否共线.

4、例2:已知任意两非零向量,试作, 。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?

向量共线定理可以用来证明两向量是否平行,三点是否共线,两直线是否平行。

(四)课堂小结

1.概念与定理:数乘运算、几何意义、运算律、向量共线定理

2.知识应用:证明两向量共线、三点共线

(五)作业延伸

书本91 9、10;  作业本481——6